傅立叶_拉谱拉斯_Z变换学习笔记！

傅里叶、拉普拉斯变换与Z变换，今天我也来做下这三个变换笔记。无论是通信工程，电子信息工程、生物医学工程、物理、微电子、自动化、电气工程及自动化、计算机等等，这三个变换都必须要学习到，可以这么说，凡是理工科生的如果没学会这三个变换，你的专业等于是白读了，应该是滥竽充数，不过好像说的夸张了些（：。

三个变换，本质上就是套用三个数学公式做了相应的积分变换，在实际工作中这些复杂的变换与计算通常是查表或者用类似matlab 或者mathcad之类的软件去做计算，本笔记主要介绍这三个变换的三个公式的推导，以及三个变换的关联性。关于三个变换原理或者应用方面的知识，不在阐释了，网络上已经有很多这方面的文章。

本笔记参考书籍《信号与系统》-----郑君里版本。

从数学上理解这些变换都属于积分变换,并有相应的关联性。其实只要知道傅里叶变换的公式，后面两个（拉普拉斯与Z变换）都可以通过傅里叶变换变化而来。首先来推导：第一个变换公式傅里叶变换，其次从傅立叶变换中引出拉普拉斯变换，最后Z变换是从抽样信号的拉氏变换中引出。

---

傅里叶变换：（频域分析）连续系统：

介绍傅里叶变换前，先解释两个概念 “频谱分析”和“傅立叶级数”，然后从傅里叶级数中引出傅里叶变换的概念。

频谱分析：就是将时域的信号（信号可以是周期与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法称为频谱分析。其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换进行变换.这两者目的都一样，都是把时域信号变成频域以便于信号分析。

其实傅里叶级数只是属于傅里叶变换的一种特殊的表达形式。

那么什么是傅里叶级数？

---

▲傅立叶级数：

long long ago…(:法国有位数学家叫傅里叶，（：他有了个新发现，任意周期函数（周期信号）可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种用三角级数表示形式就是傅里叶级数。但三角级数表示的傅里叶级数有个缺陷就是求频谱系数比较麻烦，所以又想到了通过欧拉公式把三角级数变成了指数级数的表示形式，很明显这不仅仅在求谱系数上,在做积分上指数形式也更简单了，那么用指数形式表示一个信号也是傅里叶级数。

所以傅里叶级数有两种表示形式：分别为三角级数形式和指数级数形式，

这两种表示形式都可以称为傅立叶级数。如公式（a）,(e).

(前面说了对信号做频谱分析可以用傅里叶级数展开，也可以用傅里叶变换，但是通常我们对周期信号是用傅里叶级数展开，而非周期信号用傅里叶变换。)

看了是不是还有点迷糊？那我们就用数学公式来描述吧，这样也许更直观些。

假设有个周期信号f(t)，周期为T₁,角频率为ω₁=2*π/T₁，频率为f₁，--------》要做频谱分析怎么办？

那就傅里叶数展开吧.

▲三角形式的傅里叶级数

有上可见，公式a左边f(t)是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以成为三角级数表示方式，那么这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。

但公式（a）有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式（a）进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了余弦形式的傅里叶级数或正弦形式的傅里叶级数，如式（b）,(c).

由上总结：

1.  一个周期信号可以分解成了直流分量、基波（ω1），和各次谐波（基波角频率整数倍n*ω1）

的线性组合。

                          

2.周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。

到此三角形式的傅里叶级数已经介绍完，但是我们发现三角形式还存在一些问题，我们前面也有提到过，求谱系数不好求，做积分也不好做，怎么办？于是想到通过欧拉公式转换到指数形式的傅里叶级数。

---

▲ 指数形式的傅里叶级数

我们把公式（a）抄下来，

然后有欧拉公式得到      

把公式（d1）（d2）代人公式（a）

得到                  

                        

有三角形式傅里叶级数公式（a）中正余弦分量幅度可知，见式（a2）（a3），

得出a_n 是n 的偶函数，b_n是n的奇函数。


所以得出:         

将式(d4)(d5)代入(d3)

得：              

令：              

得到 的指数形式的傅里叶级数

                  

将正余弦分量,式（a2）（a3）代人（d4）可得到指数形式傅里叶级数的系数，如下式(e1)。

其中， --à可以简写成F（n）。

傅里叶级数的系数:

小结：到此傅里叶级数的两个公式我们已经求出了

但是这两个公式都应用于周期信号的频谱分析，那么对非周期信号我们怎么做呢？于是傅里叶拿出了专门准对非周期信号频谱分析的公式，这个公式就是我们说的傅里叶变换，其实这个公式就是从傅里叶级数公式中演变过来，下面介绍怎么从傅里叶级数中变出这个傅里叶变换的公式。

---

▲傅里叶变换的引出

什么是傅里叶变换？一句话，傅里叶变换就是把一个信号，（这个信号可以是周期与非周期信号）分解成无数的正弦波信号的相加的一种变换。（它属于一种积分变换）这些信号可能幅值，频率相位各不相同的信号。其实这个概念跟傅里叶级数是相似的，但是不同地方傅里叶变换还可以对非周期信号进行频谱分析,那么下面就开始推导这个公式。既然是傅里叶级数演变过来，那么我们先把傅里叶级数指数形式公式拿下来，如下。

假设这个周期信号 的周期为T₁ ,
我们说信号周期趋向T₁    无穷大 。
这个周期信号便变成了             非周期信号。
谱系数                     趋向于0。
离散谱                            变成连续谱。


( 趋向于无穷大时，ω₁趋向0，谱线间隔趋向于0。）
所以再用谱系数 表示频谱不合适了，为此引入了频谱密度系数。
谱系数

为了获得频谱密度系数，我们把谱系数公式（e2）,两边同乘T₁,(等于除以f)得到公式（e3）

然后公式右边T1被消掉了得到了公式(e4)。

公式（e5）左边是频谱值 除以频率f ，表示单位频带上的频谱值，这其实就是频谱密度了。

我们看公式(e6)右半部分，当 ,所以积分上下限分别改为

所以（e6）右半部分变成了 ,这样式（e6）,就变成了下面（e7）了。

考虑到在实际系统中遇到的总是因果信号，信号起始时刻为零，于是在t<0的时间范围内f(t)=0,这样积分下限从零开始,于是式(e7)变成

这个公式(e8)就是傅里叶变换了，见式(e8)就是有f(t)求F（ω)称为傅里叶变换，也叫傅里叶正变换。

关于傅里叶反变换有F（s）求f(t)这里就不详述了,公式如下.

---

拉普拉斯变换：（复频域分析）连续系统：

做傅里叶变换有个条件，满足狄里赫利条件，要求信号f(t)绝对可积，此条件限制了某些上升信号如e^at,无法求傅里叶变换，为了使这样更多类似信号存在变换，引入了一个衰减因子 ,即在原信号f(t)乘以   ,这样绝对可积条件满足，就可以求出 *f(t)的傅氏变换了，公式如下。

把式（f1）代入公式（F）得到下面公式(F2)

式(F2)就是有原函数f(t),求象函数F（s）的拉氏变换了,对拉氏逆变换也可以从傅氏逆变推出，这里不在描述。

式(F3)则是有象函数F(s)求f(t)逆变换。

---

到此拉谱拉氏变换公式求出，如式(F2)是单边的拉氏变换，双边拉氏变换只是把积分下限0改成- 如上所述，拉氏变换是在傅氏变换基础上了引入衰减因子，它把f(t)分解成无限多个变幅、振荡之和，并振幅随 变化，它把傅氏的频域分析延伸到了复频域分析，它可以说是傅氏的升级版本。它最明显好处是把微分方程变成代数方程求解，从而使计算简化。

在自动控制理论中对控制系统的分析和综合，都是建立在拉氏变换的基础上的，由此可见搞控制专业的这个拉氏变换是非常重要。

---

Z变换：（Z域分析）离散系统：

在离散系统或数字控制系统中出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变换就提了出来。Z变换最明显优点是它把离散系统的数学模型----差分方程变成了简单的代数方程，这使求解变得简化，也便于写程序。

其实z变换就是借助抽样信号的拉氏变换引出。

首先抽样信号xs(t)如式：

式中x(t)为一个连续的因果信号， 实际上一个周期的冲激信号，因具有抽样性，所以两者相乘后的实际意义就是对X(t)连续信号的采样，其中抽样间隔为T。

我们知道因果信号起始时刻为零，于是在t<0的时间范围内f(t)=0,这样(z1)积分下限改从零开始。

所以（z1）式变成了（z2）式，然后对（z2）取拉氏变换。

即对信号xs(t)乘一个衰减因子e-st，然后再积分，这就是拉氏变换，如式（z3）。

公式（z3）中， 为抽样值， 是冲激信号.

我们把公式（z3）变换一下,就是将积分与求和的次序对调，于是得到了式（z4）,对冲激信号先拉氏变换。

注意式 (z3)先求和后拉氏变换与(z4)先拉氏变换再求和结果是相等的。

我们再来看z4的积分部分

积分等于1，-nt表示时移e^-nst，所以1*（时移因子e^-nst）最终积分结果如（z5）

式（z5）就是对抽样信号的拉氏变换。

为了美观些或看起来简便些吧，令衰减因子e^-st=Z，令T=1，并代入(z4),得到了式（z6）

公式(Z6)就是Z变换的公式了。

注意：与拉氏变换一样,Z变换也有单边Z变换与双边Z变换之分，同样双边Z变换,只是把n下限有0改成-                               

所以公式(Z6)为单边的Z变换，而因为我们通常用的都是单边Z变换所以这里只列出单边Z变换的公式。

到此傅里叶，拉普拉斯，Z变换的三个公式已经全部求出。