控制理论--奈奎斯特稳定判据学习笔记

唠叨几句

无论在电源还是控制领域中，一直存在在着两大派之争。

一派是学者（理论派），数学功底厉害牛逼，他们毫不犹豫地用微积分得出BOOST拓扑的传递函数，然后出版写满公式的教科书。

另一派则是电源或控制的专业人员，他们实践工作多年（实践派），具有深厚项目工程经验，但是很少见这样的工程师写书，

也许是工作太忙或者别的原因。

实践派认为那些抽象公式和理论对设计更好的电源或控制产品根本起不了多大作用。

而理论派则认为，没有数学公式的分析与建模，是不可能设计出优秀的高效的产品的。

这到底是谁有道理啊，我觉得这两派折中一下，对于学生或老师而言，多动手多实践，

对于工作了的人，要反一反，你想再提升一个高度的话，要注重基础理论的学习。

这好比练武一样，你既要进行外功的练习，打桩、马步、力量，又要进行内功的练习，拳术套路技法，甚至内功心法、兵法等等。

好了废话说了不少了，我们马上就要开始进入正题,学习内功心法了，哈哈。

下面讲的是控制理论中的奈奎斯特稳定判据（奈氏判据）。

有很多同学,包括一些考研的同学对奈氏判据感觉有些难，问其原因是，除了这一理论涉及到概念较多之外，很多时候教材还不统一，

比如奈氏判据概念如下：

胡寿松版定义：反馈控制系统稳定充分的必要条件是半闭合曲线不穿过（-1，j0）点，

                      且逆时针包围临界点（-1，j0）点圈数R等于开环转到函数的正实部极点数P。

                      有幅角原理可知，闭合曲线包围函数 F(S)= 1+ G(s)*H(s) 的零点数

                      即反馈控制系统正实部极点数为Z=P-R=P-2N。

李红星版定义：当ω从负无穷 到正无穷变化时，在Gk(j ω)平面上的奈奎斯特曲线顺时针包围

                      （-1,+j）点N次，则Z=N+P........下面还有一大段就不抄了。

初看，这两个概念怎么不一样啊，是不是某书错了。你看，李的N等于胡的R，都表示一周的意思。

所以李翻译成胡的是Z=R+P，胡是Z=P-R，这也差太多了吧。

其实都没有错，最终意思都一样的！

区别在于：胡是半闭合曲线，逆时针包围（-1，j0）点，Z=P-R,

                 李是全闭合曲线, 顺时针包围（-1,+j0）点, Z=R+P。

                 就我个人而言更喜欢李版的描述更容易懂一些，事实也也更接近MATLAB的描述。

看了上面两个定义，你理解了吗？是不是依然一头雾水？

其实这些概念都是浓缩的精华，给已懂了的人看的，原来不懂的，看了还是不懂的，哈哈。

要理解这个概念，你必须把书上的前面讲的内容全部看了并都理解，这有点点难度噢，其实也并没有那么复杂，

就是概念有点多，如果用matlab去做的话，真的是不要太简单哦。

定义的精华：右半平面是不能有闭环极点的，也就是Z=0,这个闭环极点就是F（S）零点，也是胡版描述的反馈控制系统的正实部极点数。

我知道某些同学看到这里还是没有懂，那就进入下面的笔记吧。

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下面你将学习的内容：

1 频率特性

2 奈奎斯特图

3 幅角原理

4 辅助函数

5 奈奎斯特稳定判据

6 matlab 命令窗口实验：奈氏曲线稳定判断的仿真

7 simulink 仿真实验：系统传函的阶跃响应的仿真

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奈奎斯特稳定判据

在控制系统的频域分析中，有两大法宝，分别是奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据，它们本属同根，都有个共同名字叫频域稳定判据，都有个共同优点，能根据开环系统的频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，本文介绍奈奎斯特稳定判据的基本原理，写本文的目的主要是巩固下自己学习的内容，并同时也算分享给一些正在学习这门课的学生参考，并能理解这一概念，从而在控制系统中能分析或使用这一个理论。

本文档参考教材《自动控制原理》胡寿松版、《自动控制原理》李红星版、《西北工业大学自控教案》卢京潮教授。

其学习路线图如下。

1 频率特性 → 2 奈奎斯特图 → 3 幅角原理 → 4 辅助函数→ 5 奈奎斯特稳定判据，前面4个环节搞通，最后一个原理也搞通了。

▲ 频率特性  那么什么是电路的频率特性呢？下面以RC电路为例，对频率特性做如下解释：

要研究一个电路方法有多种，一般我们知道某个电路的数学模型，给定一个信号，然后能求出输出或者叫响应。但是我们研究的是电路频率特性，所以我们输入要求是正弦信号，这个输出信号一般指的是稳态分量，瞬态分量随着时间趋向0了，（这个不理解的同学自己看书，这里不详细说了）。注意下面这段话很重要：其实我们暂时也不用管它是什么输出了，我们只要知道这个输出信号的幅度与相位会随着输入信号的频率的变化而变化，这就是频率特性了，它包括幅度随频率变化的幅频特性和相位随频率变化的相频特性。

1

                        图1

那么幅频特性与相频特性定义如下

幅频特性=正弦输出与正弦输入幅值比。

相频特性=正弦输出相位-正弦输入的相位，或者相角差。

总结： 从公式（1）（2）幅频特性和相频特性可以看出，这两个特性都是与频率ω大小变化有关系，所以总称为频率特性。

如果说把这两个变量合成一个矢量，那么这个矢量的旋转也是随着频率ω的变化而变化，这个变化的轨迹图就叫奈奎斯特图（或极坐标图）

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▲ 奈奎斯特图

                              当频率ω变化从零到无穷大变化时候，它引起了的两个变量（幅值，与相位）的变化，我们把这个两个变量合成一个

                         矢 量，输入频率的变化能引起这个合成矢量的旋转，这个旋转所产生的轨迹图就叫奈奎斯特图（简称奈氏图）。

图3 奈奎斯特图

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▲ 幅角原理

                 在解释幅角原理前，从网上找来的一张正弦函数图，然后我把它改了下变成正弦波与矢量的关系图，如图4。

                 看图右边的矢量B逆时针旋转时候，左边的波形的角度在增加，右边逆时针旋转一圈，左边正好走完一个周期2π.

                  就是想说明下，顺时针是-2 π；逆时针2π.这个记牢后面要用，哈。

定义：在S平面除了极点之外的每一点，在F(S)平面上必有一点与之对应，如果在S平面上的有一条顺时针的运动闭合曲线，那么也能                                   F（S）平面上映射出一条的闭合曲线，而它旋转方向是取决于F(s)函数的特性。

          为了理解概念我主要讲两点。

图5 S平面闭合曲线包围零极点与F(S)平面映射关系

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▲ 辅助函数

这一节相比前面简单多了，只要看看数学公式就懂了，系统框图就不画了。

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▲ 奈奎斯特的稳定判据

             在介绍稳定判据前，先了解下奈奎斯特路径 看图6，整个路径包括三部分。

I:     正虚轴,也就是虚轴上半轴s=Jω， 频率ω由0变到∞。

II:    除去虚轴外的整个右半平面，S=R*e j θ,半径R无穷大，所以右平面无穷大， 角度θ由π/2变化到-π/2；看来是顺时针的。

III:   负虚轴,也就是虚轴下半轴s=Jω， 频率ω由-∞变到0。

这样，这3段组成的封闭曲线就称为奈奎斯特路径。

为了更深入理解下面我对奈奎斯特路径的三部分展开解释：

I：   正虚轴对应的是辅助函数的频率特性F ( jω)，相当于把G (jω)右移一个单位，其实看公式(7) F(S)= 1+ Gk(s)便可知。

II:    半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F(S)→ 1,由于开环传递函数的分母高于分子阶数，

          当S->趋向无穷大时-->Gk(s)→0,故有F(S)=1+ Gk(s)→1;

III： 负虚轴相对应的是辅助函数F(jω)频率特性对称于实轴的镜像。如图（7）。

图7开环传函频率特性与辅助函数频率特性联系

图7a  绘出了系统开环频率特性曲线G(jω),将曲线右移一个单位，并取镜像，成为了F平面上的封闭曲线，如图7b,图中用虚线表示镜像。

由于在实际系统分析过程中，一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，

所以用N来替代半圈，也叫半闭合曲线，而原来R表示一圈，即R=2N，

       R=2N*********************************************************************(8)

                 把公式（8）代入公式（6）R=P-Z后-à变成2N=P-Z，变换后得公式（9）

       Z=P-2N********************************************************************(9)

       公式（9）就是奈奎斯特稳定判据公式了。

       Z表示F(S)的零点，也是闭环极点；

       P表示F(S)的极点，也是开环极点；

       N表示在Gk(Jω)开环奈奎斯特曲线顺时针包围（-1+J0）点圈数，不包括镜像。

       N 包围圈数的方向是不确定的，它是有F(S)函数特征决定的。

       N 是有符号的,有 R=P-Z，即2N=P-Z，

       所以N>0,为逆时针，N<0为顺时针

公式9意义就是只有当Z=P-2N=0时候，右半平面的闭环极点数=0，系统稳定的。

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最后有个问题，为什么说？在F平面上F（Jω）曲线包围原点情况，等于G平面Gk(Jω)曲线包围（-1，J0）的情况？

答：F（s）是我们定义的一个辅助函数，我们发现，它的分子是闭环极点，分母是开关极点。

我们还有以下几个发现：

                                    (1) F(S)的零点和极点的个数相同.

                                    (2) F(S)的零点Z就是闭环极点，F(S)的极点P就是开环极点 .

                                    (3) F(S)= 1+ Gk(s) ，当F(S)=0时，Gk(s)=-1，也就是说F(S)辅助函数与开环函数只差常量1

                                         F(S)坐标原点就是Gk(s)开环函数G平面上的（-1，J0）。

这说明F平面F（Jω）曲线包围原点情况，等于G平面Gk(Jω)曲线包围（-1，J0）的情况。

因此，我们只要通过研究开环函数Gk(Jω)曲线包围（-1，J0）的情况，就可以研究闭环系统的稳定性。

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总结：奈奎斯特稳定判据：

    当频率ω由-∞变到∞变化时，在Gk(Jω)平面上的奈奎斯特曲线包围（-1，j0）

圈数R次，则R=P-Z,或Z=P-R,分析时候不考虑镜像，所以设N为半圈，即R=2N)

所以2N=P-Z，或者Z=P-2N。

（1）Z=P-2N，Z=0,表示右半平面闭环极点数=0，系统稳定。

（2）如果开环系统稳定，即Gk(s)在S右半平面上无极点，即开环极点P=0,那要使Z=0，

         显然包围圈数2N=0,要使这个条件成立，实际意义就是开环奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点。

（3）如果开环系统是不稳定的，那就是说即Gk(s)在S右半平面上有P个极点，那使Z=0

          必须2N=P，这个时候要使闭环系统稳定的话，开环奈奎斯特曲线需要逆时针包围（-1，j0）点P次了。

（4）如果开环奈奎斯特曲线正好穿过（-1，j0）点，那闭环系统就是临界稳定了，此情况下

         P变成了不确定了，有Z=N-P，可知Z也不确定了，所以这个时候就是属于临界稳定了，可能稳定，可能不稳定。

（5）如果开环奈奎斯特曲线是顺时针包围（-1，j0）的，那就表示F（Jω）曲线也是顺时针包围原点了，

          这意味着存在着闭环极点了，即Z不等于0了，这个时候无论开环系统是否稳定，闭环系统都是不稳定的了。

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实验：奈奎斯特曲线判断系统的稳定性

仿真软件：matlab

例如，某系统开环传递函数 ,试用奈奎斯特稳定判据判断此系统在进入闭环情况下的稳定性，并输入阶跃信号，求出系统的响应曲线进行验证。

我们先求出开环系统的特征方程根：

第一步；matlab命令窗口输入相关命令求出特征方程根。

第二步；  绘制开环的奈奎斯特曲线，并用来判断进入闭环后系统的稳定性。  

程序运行后，开环的奈奎斯特曲线如图8，注意在matlab里并未专门标注（-1，j0）点，为了方便观看对比，我在图片上注明了下。

从图可以看出曲线不包围（-1，j0）点，即R=0，奈奎斯特稳定判据公式Z=P-R，得出Z=0，所以闭环系统是稳定的。

         图8开环的奈奎斯特曲线

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第三步：求出系统的（输出）阶跃响应，并验证奈氏判据系统稳定性的正确性。

程序运行后得到图9系统单位的阶跃响应输出波形。

      图9系统单位的阶跃响应

有图可知系统超调有点偏大，性能指标并不是很好，不过最终系统稳定，我们这里主要是验证系统是奈奎斯特稳定判据结论的正确性，

性能指标暂时不要求。显然奈奎斯特稳定判据结果，判断完全正确，如图10是MATLAB程序命令窗口运行截图。

图10是MATLAB程序命令窗口运行截图

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第二种验证系统稳定性方法：

在 Simulink 仿真环境里摆出闭环系统及传递函数，输入阶跃信号，观察示波器输出响应曲线， 看系统是否稳定。

这里简单介绍一下，有兴趣可以自己去试下。

→找出信号源找到阶跃信号à找到数学运算模块求和

→找到连续传递函数模块à找到通用混合模块

→找到输出模块示波器à输出工作空间模块

输出空间模块，主要可以看到仿真导出的数据，或对数据进一步处理等。

所以这个模块可加可不加。

然后按图11连线，分别对每个模块进行设置，实际基本上按默认值进行的，只有传函模块需要根据你传函设置下。

图1 1simulink传递函数的阶跃响应框图

最后阶跃响应输出如图12，显然，也是输出一样结果，也存在很高的过冲，但最终趋向稳定。

图12阶跃响应输出波形