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傅立叶_拉谱拉斯_Z变换学习笔记!

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绍兴大力
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  • 2017-2-15 17:06:40
傅里叶、拉普拉斯变换与Z变换,今天我也来做下这三个变换笔记。无论是通信工程,电子信息工程、生物医学工程、物理、微电子、自动化、电气工程及自动化、计算机等等,这三个变换都必须要学习到,可以这么说,凡是理工科生的如果没学会这三个变换,你的专业等于是白读了,应该是滥竽充数,不过好像说的夸张了些(:。
三个变换,本质上就是套用三个数学公式做了相应的积分变换,在实际工作中这些复杂的变换与计算通常是查表或者用类似matlab 或者mathcad之类的软件去做计算,本笔记主要介绍这三个变换的三个公式的推导,以及三个变换的关联性。关于三个变换原理或者应用方面的知识,不在阐释了,网络上已经有很多这方面的文章。
本笔记参考书籍《信号与系统》-----郑君里版本。

从数学上理解这些变换都属于积分变换,并有相应的关联性。其实只要知道傅里叶变换的公式,后面两个(拉普拉斯与Z变换)都可以通过傅里叶变换变化而来。首先来推导:第一个变换公式傅里叶变换,其次从傅立叶变换中引出拉普拉斯变换,最后Z变换是从抽样信号的拉氏变换中引出。



傅里叶变换:(频域分析)连续系统:
介绍傅里叶变换前,先解释两个概念 “频谱分析”“傅立叶级数”,然后从傅里叶级数中引出傅里叶变换的概念。
频谱分析:就是将时域的信号(信号可以是周期与非周期信号)变成频域形式并加以分析的方法称为频谱分析。其目的是把复杂的时域波形,经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究,以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。这某种变换可以是傅里叶级数,也可以是傅里叶变换进行变换.这两者目的都一样,都是把时域信号变成频域以便于信号分析。
其实傅里叶级数只是属于傅里叶变换的一种特殊的表达形式。
那么什么是傅里叶级数?



傅立叶级数
long long ago…(:法国有位数学家叫傅里叶,(:他有了个新发现,任意周期函数周期信号)可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,这种用三角级数表示形式就是傅里叶级数。但三角级数表示的傅里叶级数有个缺陷就是求频谱系数比较麻烦,所以又想到了通过欧拉公式把三角级数变成了指数级数的表示形式,很明显这不仅仅在求谱系数上,在做积分上指数形式也更简单了那么用指数形式表示一个信号也是傅里叶级数。
所以傅里叶级数有两种表示形式:分别为三角级数形式指数级数形式
这两种表示形式都可以称为傅立叶级数。如公式(a,(e).
(前面说了对信号做频谱分析可以用傅里叶级数展开,也可以用傅里叶变换,但是通常我们对周期信号是用傅里叶级数展开,而非周期信号用傅里叶变换。)
看了是不是还有点迷糊?那我们就用数学公式来描述吧,这样也许更直观些。
假设有个周期信号f(t)周期为T1,角频率ω1=2*π/T1频率f1--------》要做频谱分析怎么办?
那就傅里叶数展开吧.

▲三角形式的傅里叶级数
1.png

有上可见,公式a左边f(t)是一个周期信号,而右边是一个三角函数的线性组合,或也可以成为三角级数表示方式,那么这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。

但公式a有个问题,就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数,这不利于信号能量的计算或图形表示,为了便于画图我们做了一些变换,用三角公式中的合角公式对公式a进行了转换,把同频率的项加以合并,于是得到了余弦形式的傅里叶级数正弦形式的傅里叶级数,如式b,(c).
2.png

由上总结:
1.  一个周期信号可以分解成了直流分量、基波(ω1),和各次谐波(基波角频率整数倍n*ω1)
的线性组合。
                           3.png

2.周期信号频谱具有离散型,谐波性,收敛性。
到此三角形式的傅里叶级数已经介绍完,但是我们发现三角形式还存在一些问题,我们前面也有提到过,求谱系数不好求,做积分也不好做,怎么办?于是想到通过欧拉公式转换到指数形式的傅里叶级数。



指数形式的傅里叶级数
我们把公式(a)抄下来, 4.png

然后有欧拉公式得到       5.png

把公式(d1)(d2)代人公式(a
得到                   6.png
                         7.png

有三角形式傅里叶级数公式(a)中正余弦分量幅度可知,见式(a2)(a3),
得出an 是n 的偶函数,bnn的奇函数。


所以得出:          8.png
将式(d4)(d5)代入(d3)
得:               9.png
令:               10.png
得到 0001.png 的指数形式的傅里叶级数
                   11.png
将正余弦分量,式(a2)(a3)代人(d4)可得到指数形式傅里叶级数的系数,如下式(e1)。

其中, 12.png --à可以简写成F(n)。

傅里叶级数的系数: 13.png


小结:到此傅里叶级数的两个公式我们已经求出了
14.png

但是这两个公式都应用于周期信号的频谱分析,那么对非周期信号我们怎么做呢?于是傅里叶拿出了专门准对非周期信号频谱分析的公式,这个公式就是我们说的傅里叶变换,其实这个公式就是从傅里叶级数公式中演变过来,下面介绍怎么从傅里叶级数中变出这个傅里叶变换的公式。



傅里叶变换的引出

什么是傅里叶变换?一句话,傅里叶变换就是把一个信号,(这个信号可以是周期与非周期信号)分解成无数的正弦波信号的相加的一种变换。(它属于一种积分变换)这些信号可能幅值,频率相位各不相同的信号。其实这个概念跟傅里叶级数是相似的,但是不同地方傅里叶变换还可以对非周期信号进行频谱分析,那么下面就开始推导这个公式。既然是傅里叶级数演变过来,那么我们先把傅里叶级数指数形式公式拿下来,如下。


15.png 假设这个周期信号 0001.png 的周期为T1 ,
我们说信号周期趋向T1    无穷大 20.png
这个周期信号便变成了             非周期信号。
谱系数 19.png                     趋向于0
离散谱                            变成连续谱


( 21.png 趋向于无穷大时,ω1趋向0,谱线间隔趋向于0。
所以再用谱系数 12.png 表示频谱不合适了,为此引入了频谱密度系数。
谱系数 23.png

为了获得频谱密度系数,我们把谱系数公式(e2),两边同乘T1,(等于除以f)得到公式(e3)
24.png

然后公式右边T1被消掉了得到了公式(e4)。
24.png
公式(e5)左边是频谱值 12.png 除以频率f ,表示单位频带上的频谱值,这其实就是频谱密度了。

25.png
26.png
我们看公式(e6)右半部分,当 27.png ,所以积分上下限分别改为 28.png
所以(e6)右半部分变成了 29.png ,这样式(e6),就变成了下面(e7)了。
01.png

考虑到在实际系统中遇到的总是因果信号,信号起始时刻为零,于是在t<0的时间范围内f(t)=0,这样积分下限从零开始,于是式(e7)变成
02.png
这个公式(e8)就是傅里叶变换了,见式(e8)就是有f(t)Fω)称为傅里叶变换,也叫傅里叶正变换。

关于傅里叶反变换有Fs)求f(t)这里就不详述了,公式如下.
03.png



拉普拉斯变换:(复频域分析)连续系统:
做傅里叶变换有个条件,满足狄里赫利条件,要求信号f(t)绝对可积,此条件限制了某些上升信号如e^at,无法求傅里叶变换,为了使这样更多类似信号存在变换,引入了一个衰减因子 0002.png ,即在原信号f(t)乘以 0002.png   ,这样绝对可积条件满足,就可以求出 0002.png *f(t)的傅氏变换了,公式如下。
04.png
05.png

把式(f1)代入公式(F)得到下面公式(F2)
06.png

式(F2)就是有原函数f(t),求象函数F(s)的拉氏变换了,对拉氏逆变换也可以从傅氏逆变推出,这里不在描述。
07.png
式(F3)则是有象函数F(s)求f(t)逆变换。



到此拉谱拉氏变换公式求出,如式(F2)是单边的拉氏变换,双边拉氏变换只是把积分下限0改成- 20.png 如上所述,拉氏变换是在傅氏变换基础上了引入衰减因子,它把f(t)分解成无限多个变幅、振荡之和,并振幅随 0003.png 变化,它把傅氏的频域分析延伸到了复频域分析,它可以说是傅氏的升级版本。它最明显好处是把微分方程变成代数方程求解,从而使计算简化。
在自动控制理论中对控制系统的分析和综合,都是建立在拉氏变换的基础上的,由此可见搞控制专业的这个拉氏变换是非常重要。


Z变换:(Z域分析)离散系统:
在离散系统或数字控制系统中出现了差分方程,因此人们就想既然连续系统中有拉式变换,那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢?于是Z变换就提了出来。Z变换最明显优点是它把离散系统的数学模型----差分方程变成了简单的代数方程,这使求解变得简化,也便于写程序。
其实z变换就是借助抽样信号的拉氏变换引出。
首先抽样信号xs(t)如式:
001.png
式中x(t)为一个连续的因果信号, 002.png 实际上一个周期的冲激信号,因具有抽样性,所以两者相乘后的实际意义就是对X(t)连续信号的采样,其中抽样间隔为T
我们知道因果信号起始时刻为零,于是在t<0的时间范围内f(t)=0,这样(z1)积分下限改从零开始。

所以(z1)式变成了(z2)式,然后对(z2)取拉氏变换。
即对信号xs(t)乘一个衰减因子e-st,然后再积分,这就是拉氏变换,如式(z3)。
002.png
公式(z3)中, 0004.png 为抽样值, 0005.png 是冲激信号.

我们把公式(z3)变换一下,就是将积分与求和的次序对调,于是得到了式(z4,对冲激信号先拉氏变换。
003.png
注意式 (z3)先求和后拉氏变换与(z4)先拉氏变换再求和结果是相等的。
我们再来看z4的积分部分 004.png

005.png 积分等于1-nt表示时移e-nst,所以1*(时移因子e-nst)最终积分结果如(z5
006.png
式(z5)就是对抽样信号的拉氏变换。

为了美观些或看起来简便些吧,令衰减因子e-st=Z,令T=1并代入(z4),得到了式z6
007.png

公式(Z6)就是Z变换的公式了。
注意:与拉氏变换一样,Z变换也有单边Z变换与双边Z变换之分,同样双边Z变换,只是把n下限有0改成- 20.png                               
所以公式(Z6)为单边的Z变换,而因为我们通常用的都是单边Z变换所以这里只列出单边Z变换的公式。

到此傅里叶,拉普拉斯,Z变换的三个公式已经全部求出。


傅立叶_拉氏_Z变换.pdf

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傅里叶,拉氏,Z变换

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世纪电源网雪花
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  • 2017-2-15 17:07:17
 
楼主赞赞的!!!!
westbrook
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  • 2017-2-16 11:29:21
 
做电源必备知识。。
世纪电源网-小王
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  • 2017-2-16 13:38:37
 
感谢版主心血整理,这公式也是赞哈
绍兴大力
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  • 2017-2-16 14:32:21
 
有时间,我上传PDF版本吧,方便大家阅读。
peterchen0721
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  • 2017-2-20 17:49:28
 
給樓主1000個讚,期待完整PDF檔。
绍兴大力
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  • 2017-2-21 11:11:14
 
谢谢支持喔,PDF已经上传。
wbt100
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  • 2017-2-20 15:43:35
 
顶顶楼主!
绍兴大力
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  • 2017-2-21 11:10:37
 
傅立叶_拉谱拉斯_Z变换学习笔记.PDF 傅立叶_拉氏_Z变换.pdf (281.32 KB, 下载次数: 293)
westbrook
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  • 2017-2-21 17:34:18
 
很给力。。
jacobson
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  • 2017-3-5 21:49:26
 
谢谢楼主分享
boyu23
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  • 2017-4-5 08:34:35
 
看到就头疼的高数         大学废了
绍兴大力
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  • 2017-4-17 13:11:11
 

你仔细去看下,其实并不难的,虽然有微积分变换,但是整个推导过程都是代换的。
所以并不难,我觉得微积分你需要用右大脑去学习的。
孔雀东南飞
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  • 2017-4-18 11:35:25
 
谢楼主,已下载
nc965
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  • 2017-4-18 21:01:19
 
直流或者脉动直流可否用傅立叶变换?
绍兴大力
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  • 2017-4-19 13:17:16
 
可以的把
nc965
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  • 2017-4-19 14:45:40
 
稍微展开讲一下,论坛里有人糊涂,把交流直流分得太清楚。
绍兴大力
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  • 2017-4-20 13:25:03
 
直流信号求傅里叶变换其实在《信号与系统》教材中典型非周期信号的傅里叶变换那一节中已说的非常清楚了。
既然李版说了,那我就稍微总结一下吧,公式就不写了,论坛有人想知道自己去翻书吧。
直流信号:f(t)=e,(-无穷<t<+无穷),这就是直流信号的数学表述了,...?电压幅值E,时间无穷。
第一:直接套用傅立叶变换公式求不行(直流信号不满足绝对可积条件),但是我们可以通过矩形脉冲间接来求直流信号的傅里叶。
第二:我们知道矩形脉冲的傅里叶变换是非常简单的,我们只需要把矩形脉冲的脉宽 τ扩展到无穷大,就变成了直流信号了。
所以直流信号的傅里叶变换=矩形脉冲傅里叶变换再求极限即可(τ-->无穷大),如下图。

矩形变直流

矩形变直流

最终结果是直流信号的傅里变换就是冲激信号,时域无限宽,频带无限窄。
jytz9988
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  • 2017-4-21 11:38:40
 
额滴娘,好是好,瞬间血压上升
xlhappyday
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  • 2017-4-24 14:45:34
 
如何利用傅里叶变换,检测频谱中的频谱分量呢?
ZCF为幸福奋斗
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  • 2017-5-7 17:51:39
 
看起来好复杂
wszdxp2004
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Mark_wszdxp
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  • 2017-6-28 17:14:46
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跟奈奎斯特算姐妹篇的前篇,也移动综合版块来了,
大家可以参考下。
江边鸟
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楼主厉害,人才
sflxq
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理论基础知识学习
tangzhonghua16
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真是特别好的资料呀
peterzu
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学习学习,谢谢!
zylpower001
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贴主的精神值得我们学习
真武阁
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楼主厉害 QQ图片20181129142434.gif
bootlegger
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