● 电路的传递函数
如上面所示这种直接对系统求微分方程的方法叫做经典法,但是经典法有个缺点,就是在对高阶次方程求解过程比较复杂,
当方程阶次过高的时候,发现解联立方程变得异常困难了,于是有人想到了更简便的方法,
那就是用拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程。它可以把复杂的微积分运算变成了简单的代数方程求解,
如果所有的初始条件均为零,微分方程通过拉氏变换就可以得到下面对应关系
对拉谱拉斯变换不熟悉的同学,那要去翻书复习下了这个积分变换了,不过即使不熟悉你可以先记住这样对应的关系。
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但是想要真正理解S的含义以及零极点在复平面上不同的位置会对系统构成了什么样的影响,
首先条件必须要理解信号的傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念,在此基础之上复习《信号与系统》中拉普拉斯S域的分析章节,
这也是很多同学和工程师困惑的地方,然后关于傅立叶与拉普拉斯的变换的关系,
有兴趣的可以去翻下我去年写的一个帖子《傅立叶_拉氏_Z变换》,其实这些都是基础理论知识,
也只有理解了这些基础理论,才能真正理解零极点对系统的相位和稳定性的影响与分析。
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有了这层转换关系后,我们可以很轻松的把式(9)时域的微分方程转变成复数域的传递函数。
把
,代入式(9),把小括号时间变量t,改成S,并把Uo(t)拿出来即得到式(10)
把式(10)进行变换后即得到传递函数式如式(11)所示
注意:图一,串联 RLC电路,在线性系统时域分析中并不是用式(11)形式表示,而是如图
(12)形式表示,其实道理都一样的,只是T1=L/R,T2=RC,的变换,然后为了最高项系数变为1。
分子分母同除LC,便得到了式(12)的串联RLC电路传递函数。
传递函数的定义:在零初始条件下,线性定常系统的输出量的拉普拉斯变换与系统输入量的拉普拉斯变换之比,
通常系统的传递函数用G(S)表示,输入量用为R(S)表示,输出量用C(s)表示。
关于传递函数的化简和系统的典型环节的传递函数这里不在做详细介绍了,有兴趣同学可以自行看《经典控制理论》
在这一节我最主要目的:是让你了解电路传递函数的由来,以及它与微分方程的转变关系,
有了这样的基础才能真正理解电路传递函数中的零极点含义,以及零极点在S(复)平面上的不同位置对系统造成了怎样的影响.
那么这个变量S到底是什么呢?
在传递函数这个S的意义表示的是一个复变量,它有实部与虚部,其中实部用
表示,虚部用
表示, 所以
。在电路分析中,这个S就是一个复频率.
第 二 系统函数零极点分布特性
在这个小节中你将学习到下面几个概念:(a) 什么是系统函数(b)系统函数的零极点(c)系统函数零极点S平面分布的时域特性
(d)为什么极点在右半平面会造成系统的不稳定性。
在这里我先要求你记住两点:第一点:系统的极点影响着系统的稳定性,第二点:系统的零点影响着系统的相位和幅度,
至于系统函数零极点怎么影响,请看后面系统函数零极点分布特性图
(a)系统函数: 用H(s)表示,在线系统零态下,响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫做系统函数,即,H(s)=R(s)/E(s).
(b)系统函数的零极点: 系统的函数分子分母多项式经因式分解后可以变成下面的形式:
这里Z是分子多项式的零点,有0~Zi个零点(i=1,2,3,m);
同理P是分母多项式的极点,有0~pj个极点(j=1,2,3,n);
有些同学可能会对这个公式一脸茫然,这个公式只是表示传递函数式的总共有这么多零点与极点,
具体有多少零极点这看具体的电路而定,理解这些就OK了。
另外通常在画图的或者matlab生成零极点的图时候,〇表示零点,x 表示极点。
(c)系统函数零极点在S平面分布的时域特性
在s域分析中,借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究,可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。
系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来 如表1,
是几种典型的系统函数极点的位置与系统输出响应,H(S)表示系统函数,P表示极点,
对个系统函数进行反拉斯变换后得到时间函数系统无论输出是上升还下降,实际值需要看指数最终是正的还是负,
实例1:我们来从表1中选一个实例,系统函数为1/(s+a)的时候,反拉斯变换后,系统输出为
如果是a<0,那么指数正,所以输出一定是发散的,那发散了就不稳定了,
相反如果a是大于0,那指数负,那系统一定是收敛衰减的,其它几个极点在S平面位置的响应特性的原理都是一样的,
实例2:如图2-1系统极点在右半平面的正实轴的系统响应分析。
图2-1系统极点在右半平面的正实轴
我们可以看下下面的的图3极点位置s平面的输出响应图。
表1系统极点在S平面对应的时域特性
(d)为什么极点在右半平面会造成系统的不稳定性
我们从下面的图3,极点在右半平面,随着系统时间T增加,
系统响应的要么震荡上升要么指数上升,显然极点在右半平面,都会造成系统的不稳定,
其实根轨迹的判断原理和奈奎斯特稳定判断原理都据于此的。
图3 极点位置s平面的输出响应图
总结:极点在复平面的左半平面,h(t)输出衰减,系统收敛;
极点在复平面的右半平面,h(t)输出增加,所以极点在右半平面,系统失去稳定;
极点在虚轴上只有一阶极点,不能有重极点,h(t)输出等幅震荡;
极点在原点,h(t)输出阶跃信号U(t);
零点对系统的影响主要是幅度与相位或相移。
第三 频域分析法->频率特性
在介绍网络分析仪之前我们先来复习下电路的频率特性。
频率特性:那么什么是电路的频率特性呢?下面以RC电路为例,对什么是频率特性做一些解释:要研究一个电路方法有多种,
一般我们知道某个电路的数学模型,给定一个信号,然后能求出输出或者叫响应。但是我们研究的是电路频率特性,
所以我们输入要求是正弦信号,这个输出信号一般指的是稳态分量,瞬态分量随着时间趋向0了,
(这个不理解的同学自己看书,这里不详细说了)。
注意下面这段话很重要:
我们暂时也不用管它是什么输出了,我们只要知道这个输出信号的幅度与相位会随着输入信号的频率的变化而变化,这就是频率特性了,它包括幅度随频率变化的幅频特性和相位随频率变化的相频特性,如图2。
图3 RC网络
图3中 输入信号是正弦信号 Ur(t),输出 uc(t)
那么幅频特性与相频特性定义如下
幅频特性=正弦输出与正弦输入幅值比。
相频特性=正弦输出相位-正弦输入的相位,或者相角差。
总结: 从公式(14)(15)幅频特性和相频特性可以看出,这两个特性都是与频率ω大小变化有关系,所以总称为频率特性。
如果说把这两个变量合成一个矢量,那么这个矢量的旋转也是随着频率ω的变化而变化,这个变化的轨迹图就叫奈奎斯特图