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将多项式相加整理成相乘的方法请教

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boy59
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  • 2019-11-17 10:20:41
10问答币
公式化简.jpg

如上图式(1)为多项式相加,式(2)为整理后的多项式相乘。后面的式(3)要如何整理成式(4)的形式?
试过Mathcad的factor好像无能无力……
greendot
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  • 2019-11-18 11:46:02
 
意思是把 cosA+cosB+cosC 整成 k*cosX*cosY*cosZ ?
boy59
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  • 2019-11-18 11:57:29
  • 倒数10
 
是这个意思,加法变乘法的形式。
greendot
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  • 2019-11-18 12:54:37
  • 倒数9
 
怀疑这有无可能呢? 如果反推,用 cosX = 1/2 *(ejx+e-jx) 等式,有无机会?好像也不行,没深究。

boy59
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  • 2019-11-18 13:37:37
  • 倒数8
 
合成波.jpg
上面左图是两个余弦波的叠加,直接相加的结果和公式(2)的结果一样。公式(2)用simplify也可以得到公式(1)这样两个余弦波相加的形式。
反过来由公式(1)推公式(2)有什么方法?类似的问题最近碰到过好几次(比如小信号零、极点公式乘积的形式)。
上面右图是三个余弦波的叠加,结果没有直流量估计是可以写成多项式相乘的形式的。
greendot
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  • 2019-11-18 16:00:14
  • 倒数7
 
假使成立,起码像这样 :cosA+cosB+cosC = 3*cosX*cosY*cosZ ,如果A=B=C,是不是会有 X=Y=Z ?

boy59
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  • 2019-11-18 16:50:01
  • 倒数6
 
公式推导.jpg
利用欧拉公式两项相加到相乘可以推导出来了,三项(有可能最终是四项f1、f1、f2、f3)的组合方式有点麻烦
如果A=B=C则3*cosXcosYcosZ其中的两项等于1,如cosY=1,cosZ=1。
greendot
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  • 2019-11-18 18:29:48
  • 倒数5
 
.......
greendot
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  • 2019-11-22 11:00:49
  • 倒数4
 
说得不对了。应该有这样的关系:

2019-11-22_173850.jpg
如果 a+b+c 恒等于90度(或它的单数倍),则有左右两边各有3项相加、相乘。


boy59
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  • 2019-11-24 20:43:34
  • 倒数3
 
我试试看,这个的实际应用是光学上的拍频或者相干现象,在后面乘积项中一般会包含前面项的差频项。
greendot
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  • 2019-11-26 12:22:08
  • 倒数2
 
这个是3个没有phase shift 的 cosine的叠加,频率分别为100,105,112Hz,能不能看出其中的 beat freq?
2019-11-25_180611.jpg
boy59
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  • 2019-11-26 20:11:53
  • 倒数1
 
实际应用中各拍频间的频率差比较大所以效果会明显些,比如取100,111,112Hz。现在已经确定的是需要四个频率的拍频,如100,100,111,112,相位任意。
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