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以实例说明,为什么电感的能量主要存储在气隙中

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zq7489
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  • 2020-2-25 21:59:57
最近在学习《电磁学》,偶然想到这个问题,在论坛中搜了一下,发现每个人对这个问题有不同的理解,进而导致众说纷纭,真假难辨。


如以下两帖:

变压器、电感之二:变压器的能量究竟储存在哪里?


为什么能量大部分储存在气息中


上面两个帖子中,每个帖子下面都有大量的讨论,而且大家基本上都是在定性的讨论,没有通过定量计算来支持自己的论点。说明大家对这个问题基本都只有感性的认识,理解得不够深刻。(当然,肯定也有些同学是深刻理解的,只是没时间来详细阐述,从而造成懂的人一直都懂,不懂的人也一直都不懂的局面。)


最近自学电磁学以后,我对这个问题也进行了一些思考,得出了一点见解。现在把我的思考贴出来,供大家参考。



首先,电容的能量存在于电场之中,电感的能量存在于磁场之中。真空中电场的场能密度为We=0.5*ε0*E^2,其中ε0为真空介电常数,E为电场强度。真空中磁场的场能密度为Wm=0.5*1/μ0*B^2,其中μ0为真空磁导率,B为磁通密度。场能密度的定义是电磁场中的能量与其体积之比。(可参考《普通物理学教程电磁学》,梁灿彬,第四版,88页和252页)


在此基础上,就可以计算使用带气隙的磁芯绕制的电感中的能量分布情况,从而计算出磁芯和气隙中存储的能量究竟哪个比较多。


以一个环形电感为例:

环形电感.png (61.35 KB, 下载次数: 24)

环形电感.png
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zq7489
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  • 2020-2-25 22:01:05
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假设当前有一个环形磁芯,其截面为圆形,其内直径为90mm,外直径为110mm,那么它的平均直径就是100mm。可以计算出这个磁芯的平均磁路长度MPL314mm,横截面积Ae78.54mm^2


假设磁芯上存在4mm的气隙,lg=4mm,那么可以计算出气隙的体积约为Ae*lg314mm^3,磁芯的体积VcAe*MPL-lg)≈24670mm^3。可见磁芯的体积比气隙的体积大得多。


假设这个磁环使用铁氧体材质,其相对磁导率μr1300,其上均匀密绕了100匝线圈,N=100,那么可以由电感量的计算公式,算出这个电感的感量L大约为L=(μ0*Ae*N^2/((MPL-lg/μr+lg)≈232.85μH,(感量计算公式可参考《变压器与电感器设计手册》,第4版,第19页)。


那么,当此电感线圈中通有1A电流时,I=1A,利用大家都熟知的电感储能公式,可以计算出此电感存储的能量为W=0.5*L*I^20.1164mJ


接下来,我们计算磁环中的磁通密度B,并利用最开始介绍的场能密度公式来分别计算磁芯中的能量和气隙中的能量。


在计算B值之前,我们先来证明磁芯中的B值是等于气隙中的B值的。利用磁场的高斯定理,我们取一个圆柱形高斯闭合曲面,如下图中的蓝色圆柱体,它的上表面处在气隙中,下表面处在磁芯中。那么磁芯中的磁通密度Bc从下表面穿入闭合曲面,如图中的蓝线;气隙中的磁通密度Ba从上表面穿出闭合曲面,如图中的红线。如果我们将圆柱形闭合曲面的高度取的极小,那么从闭合曲面的侧面穿出的磁通可以忽略不计。那么由磁场的高斯定理,可得Bc*Ae=Ba*Ae,所以得到Bc=Ba


高斯曲面.png (8.44 KB, 下载次数: 27)

高斯曲面.png
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  • 2020-2-25 22:02:11
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现在,我们再利用安培环路定理,来计算电感中的B值。我们取磁路长度MPL为闭合曲线,那么,H*MPL=N*I,进而推出,Hc*MPL-lg+Ha*lg=NI,其中,Hc是磁芯中的磁场强度,Ha是气隙中的磁场强度。在磁芯中,B=μ0*μr*Hc,在气隙中,B=μ0*Ha,带入上式,可计算出电感中的磁通密度B0.03T


那么可以计算出磁芯中的能量为Wc=0.5*1/μ0μr*B^2*Vc6.553μJ;气隙中的能量为Wa=0.5*1/μ0*B^2*Va0.1099mJ。如果我们把WaWc相加,会发现这个数值和我们用电感储能公式算出来的能量是一致的。


由这个例子可见,虽然磁芯的体积比气隙大很多,然而,电感中的能量却主要是存在于气隙中的。


如果我们将磁芯中的能量、气隙中的能量当做气隙长度的函数,可得如下函数图,红色为磁芯中的能量,蓝色为气隙中的能量,最上面的曲线是电感中存储的总能量。


可见,在我们所举的例子中,当气隙长度约为0.24mm时,磁芯中的能量基本上和气隙中的能量相同了,当气隙长度为0.5mm时,磁芯中的能量基本上只有气隙中能量的一半了。



通过分析我们的计算公式可知,当(MPL-lg/μr=lg时,磁芯中的能量就和气隙中的能量相等了。另外也能发现,虽然整个电感中的磁通密度B是相同的,但是由于磁芯的磁导率比空气大太多了,导致磁芯的场能密度比空气小了很多,所以能量大多都存在于气隙中了。

函数图.png (5.71 KB, 下载次数: 21)

函数图.png
zq7489
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  • 2020-2-25 22:10:58
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最后附上Word文档和Mathcad计算书,供大家参考。计算书为Mathcad 15版本。

电感储能.docx

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磁场能量.rar

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埃_维_针1
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  • 2020-2-29 11:43:55
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感谢楼主的分析过程。

这里帮楼主补充一下场能密度,也就是LZ说的能量密度的定义以及公式推导
磁场能量不只是存在于有电流的导体内部,而是说磁场能量储存于整个磁场存在的空间内,用磁场矢量表示磁能,有下式
代入恒定磁场细导线回路情况下的磁场能量表达式:
然后有:
当体积趋于无穷大,右边积分为零,剩下:

这个积分是对整个空间取的,只有磁场不为零的空间对积分有贡献,称被积函数是磁场能量密度,即:
单位J/m3

P.S. 记起大三的时候学习电磁场与电磁波,那时候就一直觉得这门课好难啊,跟天书一样。
P.P.S.  为什么公式的图片变成这么大的啊,能不能给帖子编辑加入图片大小选择的功能。

锦衣夜食
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