开关电源环路稳定性设计

1   环路稳定性

在研究开关电源环路稳定性之前，关于环路稳定的理论做简单的陈述。下图1为典型的反馈控制系统框图。

图1反馈控制系统框图

根据输入、输出的关系，可以得出： ，该公式称为系统的闭环传递函数。其中,若 ，根据公式可得， 。此时该闭环系统不收敛，也就是系统不稳定。从频率角度分析，令 ，且定义 为系统的开环传递函数，令 ，即获得开环传递函数的频域响应为：

；

此时频率响应的增益和相角基于 -1计算出：

； ；

根据计算结果得出结论：如果系统的开环传递函数出现在增益为1（0dB），相位改变 时，那么这个闭环系统就是不稳定的。反过来，如果希望系统稳定，就需要在增益为1时，相位改变不等于 。频域分析如上，但如何映射到时域响应呢？

图2为典型的二阶系统的频域、时域响应波形图。从图中可以看出，若是相位偏移接近180度（增益为0dB，相位与 的偏差称为相位裕度），对应的电源输出电压就会发生过冲、欠冲和振荡。所以，为系统提供足够的相位裕度，实际上就是解决输出电压过冲、欠冲和振荡的问题。

图2二阶系统频域、时域响应对照

工程上，一般推荐环路引入的相角滞后要比 大 以上。即相位裕度大于 ，在恶劣工况下，也至少要达到大于 。

2         相位裕度

根据上述理论，若要保证足够的相位裕度，则需要开环传递函数的增益曲线以 的下降速度穿越0dB。因为从复域分析，每产生一个极点，最大会引入90度的相移。如果以 （引入两个极点）的下降速度穿越0dB，那么系统的相移就有可能达到180度（两个极点最大引入180度相移），从而导致系统不稳定。

另外，因输入与反馈输入是对静态误差放大，为了尽量的减小误差，则需要较高的静态增益。即需要系统在低频时以 或者 的斜率衰减。

所以，满足上述条件后，BUCK环路可保证稳定。实际设计时，只需要通过数学方法将电路功率级和反馈回路级的模型抽象成 和 ，结合上述两个限制条件，即可实现电源的环路稳定性设计。

3         功率级传递函数

图3为LM25141的功率级和反馈环路的结构图。框内标识1的为功率级的电路结构图。

图3LM25141组成的buck电路简图

因该芯片闭环控制采用的是峰值电流模式（PeakCurrentMode后续简称为PCM），根据交流小信号模型分析法(具体分析方法可参考TI的官方文档<understanding buck powerstages in switch mode power supplies>)可知，功率级传递函数只与输出电容、电容ESR和负载电阻相关，因此得出其传递函数 ：

Rload为负载电阻=输出电压/输出电流；Rcs为采样电阻；Rdcr为电感直流电阻；Cout为输出电容；其他参数参考LM25141官方手册<LM25141-Q1Automotive, 2.2MHz, Low Iq Synchronous Buck Controller With Frequency SpreadSpectrum>。

4         反馈回路传递函数

根据上述功率级传递函数的表达式，可知其存在一个由负载电阻、输出电容组成的极点和一个由输出电容ESR引起的零点（见图4中标识为1的曲线）。而根据环路稳定的条件（1）以-20dB/dec的斜率穿越0dB点；（2）提供足够高的静态增益；可知，最终环路的幅频曲线应该为图中曲线3所示。所以，反馈环路传递函数的幅频曲线就是利用曲线3减去曲线1，得到曲线2。也就是反馈传递函数需要一个零极点，用于提供较高的静态增益；一个零点，补偿功率级的主极点；一个极点，补偿功率级电容ESR产生的零点。

图4功率级、反馈级、开环传递函数幅频特性曲线

LM25141内部采用的是OTA结构TYPEII型（TYPEI~III类型的补偿器介绍参考<Demystifying Type IIand Type III Compensators Using Op-Amp and OTA for DC/DC Converters>）的补偿器进行环路设计，电路结构图以及传递函数 如下所示。

图5OTA结构补偿器

需要说明的是，根据LM25141内部的结构框图可知，PCM型的BUCK电路的反馈设计中其实包含两个闭环控制回路，一个是电流环，一个是电压环。电流为内环，电压为外环。并且内部集成了电流环的次谐波补偿。所以在设计该芯片环路时，主要对外部电压环进行补偿设计。

5         环路补偿设计

根据上述分析，得出 以及 ，若是需要环路稳定，则满足 相位裕度大于45度即可（通常对于增益裕度也有要求，一般要求增益裕度大于10dB，实际上增益裕度很容易满足，这里不进行讨论）。从传递函数的公式出发，其中当前不可知的参数为R1、R2、R4、C1、C3，若是选择合适的值，使其满足相位裕度，那么也就完成了电源的环路稳定性设计。下面根据图4的零极点补偿特性，罗列方程式：

上述公式中，存在3个变量R2、C1、C3，但是只有两个方程式。所以需要找到第三个方程式，从而求解出三个参数。仍然从图4中分解，因为曲线3的斜率为-1，所以有其与x轴交点的值等于与Y轴交点的值。在曲线3种取 点，则有：

分别计算 和 ；

将公共部分约去后，有：

所以：

从公式中看，当前只有 一个未知数，开关电源中，通常将其定义为穿越频率。穿越频率越高，系统反馈越灵敏，但同样会对频带内的噪声和纹波产生放大的作用；穿越频率过低，系统对瞬态的电流响应不足，也会导致系统工作异常。所以工程上，通常穿越频率取开关频率的1/20~1/5。那么选定好 即可计算R2的值：

再结合之前的两个公式，即可求出C1、C3。另外对于R1和R4的取值，从公式中可以看出，其与R1和R4的值没有直接的关系，而是直接用 。所以这里的R1和R4取值就比较自由，考虑器件分压比、小型化、成本、功率等因素即可。

最后，根据求解出的传递函数，利用mathcad绘制出开环传递函数的bode图，如图6左边所示，从图中计算得出其穿越频率为23.8K，相位裕度为90度。同时，因理论计算模型被简化，实际上反馈环路存在更多地寄生参数没有考虑。利用仿真软件，再次进行验证。仿真下来，其bode图如图6右边所示，穿越频率为26K，相位裕度为76度。

图6左图为理论计算幅频曲线，右图为仿真后的幅频曲线   

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